Pengantar Dasar Matematika

1. Definisi Matematika
Matematika berasal dari bahasa latin manthanein atau mathema
yang berarti belajar atau hal yang dipelajari. Matematika dalam
bahasa Belanda disebut wiskunde atau ilmu pasti, yang kesemuanya
berkaitan dengan penalaran.
Ada yang berpendapat bahwa Matematika berasal dari bahasa Yunani mathematika yaitu studi besaran, struktur, ruang, relasi, perubahan, dan beraneka topik pola, bentuk, dan entitas. Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filsafat matematika. Para matematikawan merumuskan konjektur dan kebenaran baru melalui deduksi yang menyeluruh dari beberapa aksioma dan definisi yang dipilih dan saling bersesuaian.

2. Karakteristik Matematika
Ciri utama matematika adalah sebagai berikut:
a. Berpola pikir Deduktif namun pembelajaran dan pemahaman konsep dapat diawali secara induktif melalui pengalaman peristiwa nyata atau intuisi.
b. Memiliki Kajian Objek Abstrak.
c. Bertumpu Pada Kesepakatan.
d. Memiliki Simbol yang Kosong dari Arti. Rangkaian simbol-simbol dapat membentuk model matematika.
e. Memperhatikan Semesta Pembicaraan. Konsekuensi dari simbol yang kosong dari arti adalah diperlukannya kejelasan dalam lingkup model yang dipakai.
f. Konsisten Dalam Sistemnya. Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada yang saling terkait dan ada yang saling lepas. Dalam satu sistem tidak boleh ada kontradiksi. Tetapi antar sistem ada kemungkinan timbul kontradiksi.

3. Sistem dan Struktur dalam Matematika
Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.
Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar.
Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi, kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial. Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks.
Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika dan teori model dikembangkan. Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu.

4. Menentukan Kebenaran dalam Matematika
Ada dua teori tentang kebenaran dalam Matematika, yaitu teori korespondensi dan teori koherensi.
a. Teori Korespondensi
Teori korespondensi (the correspondence theory of truth) menunjukkan bahwa suatu pernyataan akan bernilai benar jika hal-hal yang terkandung di dalam pernyataan tersebut sesuai atau cocok dengan keadaan yang sesungguhnya. Contoh, “Semua manusia akan mati,” merupakan suatu pernyataan yang bernilai benar karena kenyataannya memang demikian.
b. Teori Koherensi
Teori koherensi menyatakan bahwa suatu kalimat akan bernilai benar jika pernyataan yang terkandung di dalam kalimat itu bersifat koheren, konsisten, atau tidak bertentangan dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya yang dianggap benar. Contohnya, pengetahuan Aljabar telah didasarkan pada pernyataan pangkal yang dianggap benar. Pernyataan yang dianggap benar itu disebut aksioma atau postulat.

5. Perkembangan Matematika
Sejarah matematika dimulai ketika orang harus mencatat jumlah yang lebih besar daripada satu. Suku Nomaden kuno menghitung dan mencatat kawanan ternak meskipun mereka tidak memiliki sistem bilangan tertulis. Untuk menghitung mereka memungut kerikil atau biji dan memasukkannya ke dalam kantong. Untuk bilangan besar, mereka menggunakan jari untuk melambangkan bilangan 10 dan 20. Mereka mengembangkan konsep bilangan sebagai lambang yang terpisah dari benda yang dihitung.
Sewaktu pencatatan dan perhitungan menjadi lebih rumit, orang menemukan alat untuk membantu proses itu. Abakus adalah salah satu alat yang paling awal. Orang Romawi menyebutnya dengan sebutan calculus, dari situ muncul kata kalkulasi. Pada awal abad pertengahan, swipoa dari Timur muncul di Timur tengah. Sabak juga dipakai dengan menggunakan kerikil.
Secara Geografis, Mesopotamia adalah daerah yang menentukan sistem bilangan pertama kali, dan juga menemukan sistem berat dan ukur. Kemudian Babilonia menggunakan sistem desimal dan π=3,125, mengenal Geometri sebagai basis perhitungan astronomi, Geometrinya bersifat aljabaris. Pada masa ini, mulai menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat, Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris, juga mulai mengenal teorema Pythagoras. Ilmuwan Babilonia merupakan Penemu kalkulator pertama kali. Kemudian disusul Mesir Kuno, Yunani Kuno, India, lalu China

6. Tujuan Pendidikan Matematika
Di dalam GBPP mata pelajaran matematika SD disebutkan bahwa tujuan yang hendak dicapai dari pembelajaran matematika sekolah adalah:
a. Menumbuhkan dan mengembangkan keterampilan berhitung (menggunakan bilangan) sebagai alat dalam kehidupan sehari-hari
b. Menumbuhkan kemampuan siswa, yang dapat dialihgunakan, melalui kegiatan matematika
c. Mengembangkan pengetahuan dasar matematika sebagai bekal lanjut di Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP)
d. Membentuk sikap logis, kritis, cermat, kreatif dan disiplin. (Depdikbud, 1993:40)
Sedangkan tujuan mata pelajaran matematika yang tercantum dalam KTSP pada SD/MI adalah sebagai berikut:
a. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam pemecahan masalah.
b. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika.
c. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh
d. Mengkomunkasikan gagasan dengan simbol, table, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah
e. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah (Depdiknas, 2006 : 417).

7. Pola Pikir Dalam Matematika Sekolah
Pembelajaran Matematika di sekolah sangat terbatas sehingga kebutuhan anak terhadap Matematika belum seluruhnya terpenuhi. Pola pembelajaran Matematika di sekolah diakui masih kurang menyenangkan bagi anak. Hal itu dikarenakan pembelajaran Matematika di sekolah seolah-olah direduksi hanya persoalan hitung-menghitung. Aktivitas yang bersifat mekanistik tersebut membosankan anak. Padahal, belajar Matematika ialah bagaimana anak dengan informasi yang dia bangun mampu menyelesaikan permasalahan.
Prinsipnya adalah pembangunan pola pikir anak dalam memecahkan masalah. Jika anak belajar pada level pengetahuannya, anak tidak akan terlalu takut terhadap Matematika. Kalau anak belajar tidak sesuai dengan levelnya, anak ketakutan dan terjadi penumpukan materi yang tidak dikuasai.
Belajar Matematika seharusnya diawali dengan pemberian motivasi. Guru, terutama, harus dapat menggambarkan kepada anak didiknya manfaat belajar Matematika dalam kehidupan. Belajar Matematika juga dimulai dengan hal yang mudah dan beranjak ke materi lebih sulit. Metode belajar Matematika juga harus bervariasi.

8. Arah Peserta Didik Dalam Pembelajaran Matematika
Matematika berfungsi mengembangkan kemampuan menghitung, mengukur, menurunkan dan menggunakan rumus matematika yang diperlukan dalam kehidupan sehari-hari melalui materi pengukuran dan geometri, aljabar, peluang dan statistika, kalkulus dan trigonometri. Matematika juga berfungsi mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan melalui model matematika yang dapat berupa kalimat dan persamaan matematika, diagram, grafik atau tabel. Dengan pembelajaran matematika, peserta didik diarahakan untuk:
a. Melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikian, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan, konsisten dan inkonsistensi.
b. Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi,
dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba.
c. Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah.
d. Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan,
grafik, peta, diagram, dalam menjelaskan gagasan.

9. Strategi, Metode, Teknik Dalam Pembelajaran Matematika
Metode pemecahan masalah merupakan pertanyaan yang harus dijawab atau direspon. Suatu pertanyaan akan menjadi masalah jika pertanyaan itu menunjukkan adanya suatu tantangan yang tidak dapat dipecahkan oleh suatu prosedur rutin yang sudah diketahui si pelaku. Pada saat memecahkan masalah diperlukan strategi yang jika digunakan siswa bisa bermanfaat dalam kehidupan nyata mereka. Strategi dimaksud antara lain adalah:
a. Membuat diagram dan mengidentifikasi masalah.
b. Dimulai dengan soal-soal yang sederhana
c. Membuat tabel, utuk membantu menganalisis permasalahan atau jalan pikiran.
d. Menemukan pola, mencari keteraturan untuk menemukan penyelesaian
e. Memperhitungkan setiap kemungkinan
f. Berpikir logis
g. Mencoba-coba, supaya ada gambaran umum dari apa yang diketahui.

10. Tantangan Menjadi Guru Matematika
Menjadi seorang guru tidaklah mudah, termasuk guru Matematika. Selain dituntut untuk memiliki kompetensi-kompetensi seorang guru, guru Matematika juga dituntut untuk dapat melewati tantangan-tantangan yang ada. Diantara tantangan-tantangan itu adalah guru matematika harus:
a. Mampu mengubah paradigma masyarakat mengenai bidang studi matematika yang susah dan menakutkan menjadi sesuatu yang mudah dipahami, menyenangkan, dan mampu memberikan kontribusi yang nyata di dalam kehidupan sehari-hari.
b. Memilih berbagai konsep dan metode pembelajaran yang efisien, efektif, dan tepat guna agar peserta didik mampu dengan mudah memahami dan menguasai ilmu matematika yang merupakan dasar-dasar dari ilmu-ilmu yang lain.
c. Menjadi pendidik yang esensial dalam menyampaikan konsep pembelajaran yang sudah dirancang sedemikian rupa. Baik tidaknya pemahaman dan penguasaan materi seorang siswa sangat bergantung juga dari profil, karakter, kepribadian, dan cara menyampaikan materi oleh guru matematika.
d. Mampu menguasai materi yang akan disampaikan kepada peserta didik.
e. Bijaksana. Mampu mengambil tindakan yang tegas dalam mengambil statu keputusan yang tidak memberatkan nemun juga tidak memanjakan siswa.
f. Berwibawa. Memiliki ketegasan dan karakter yang kuat dalam menguasai situasi pembelajaran baik di dalam ataupun di luar kelas dalam konteks pembelajaran matematika sehingga siswa menghormati guru dan tidak menyepelekan guru.
g. Komunikatif.
h. Menarik. Berpenampilan menarik agar terlihat eksentrik dan menawan namun tetap dalam batas yang wajar.
i. Kreatif dan inovatif

11. Himpunan
Himpunan adalah Kumpulan benda atau objek yang didefinisikan (diterangkan) dengan jelas. Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D, …,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma . Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu.
Contoh:
A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10
A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Macam-macam himpunan
a. Himpunan Kosong, adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau 
b. Himpunan Lepas, adalah dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama.
c. Himpunan Tidak Saling Lepas, adalah dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama.
d. Himpunan Semesta, adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan.
e. Himpunan Bagian. A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B, dilambangkan dengan A  B.
f. Himpunan Sama, dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnya.
g. Himpunan Equivalen, Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama.
Rumus Banyaknya Himpunan Bagian
Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah sebanyak 2n(A)
Irisan Dua Himpunan (Interseksi)
Irisan himpunan A dan B ditulis A  B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B
Gabungan Dua Himpunan ( Union)
Gabungan himpunan A dan B ditulis A  B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B
Diagram Venn
Langkah-langkah menggambar diagram venn
a. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan
b. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama
c. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah
d. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi
e. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan
f. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis di dalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu
g. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap

12. Fungsi
Fungsi dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap elemen sebuah himpunan kepada elemen himpunan yang lain. Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah “fungsi”, “pemetaan”, “peta”, “transformasi”, dan “operator” biasanya dipakai secara sinonim.
Notasi Fungsi
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

atau
Fungsi sebagai Relasi
Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.
Domain dan Kodomain
Domain adalah daerah asal, Kodomain adalah daerah kawan, sedangkan Range adalah daerah hasil
Jenis-jenis fungsi
a. Fungsi satu-satu
b. Fungsi kepada
c. Fungsi injektif

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.